Николай Иванович Мамонтов родился 7 октября 1921 года в селе Кусково (ныне — Тамбовский район Тамбовской области). После окончания семи классов школы работал слесарем на заводе.
В 1939 году призван на службу в Рабоче-Крестьянскую Красную Армию.
В 1941 году окончил Могилёвское пехотное училище, в 1942 году - курсы "Выстрел".
С 1943 года — на фронтах Великой Отечественной войны.
К апрелю 1945 года майор Николай Мамонтов командовал батальоном 366-го стрелкового полка 126-й стрелковой дивизии 43-й армии 3-го Белорусского фронта. Отличился во время штурма Кённисберга. 8-9 апреля 1945 года батальон Мамонтова штурмом взял ряд строений, превращённых противником в укреплённые узлы обороны, очистив в общей сложности 23 городских квартала и уничтожив либо взяв в плен большое количество солдат и офицеров противника.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 апреля 1945 года майор Николай Мамонтов был удостоен высокого звания Героя Советского Союза.
После окончания войны Мамонтов продолжил службу в Советской Армии.
В 1954 году он окончил Военную Академию имени Фрунзе.
В 1964 году в звании подполковника Мамонтов был уволен в запас. Проживал в городе Жмеринка Винницкой области Украинской ССР.
Был также награждён орденами Красного Занмени и Александра Невского, двумя орденами Отечественной войны 1-й степени.