Александр Андреевич Куценко родился 13 мая 1902 года на станции Огульцы Люботинского района Харьковской области в семье рабочего, по национальности — украинец. В 1917 году окончил трехклассное железнодорожное училище.
15 мая 1920 года добровольцем вступил в ряды РККА — поступил в харьковскую школу "Червонных старшин". В рядах ВС СССР прослужил 34 года. Участник Гражданской и Великой Отечественной войн.
С 1920 по февраль 1921 годов в составе l-й сводной дивизии курсантов участвовал в разгроме банд Махно и врангелевцев на Южном фронте. В октябре 1924 года становится комвзвода в 14-м кавполку, дислоцированном в Украинском военном округе. Инструктор верховой езды в 14 кавполку. В конце 1931 года ПНШ 15-го кавалерийского полка. В 1933 году отправлен на учёбу в московские КУКС мотомехвойск. После окончания курсов становится начальником продснабжения 15-го кавполка УВО. В ноябре 1938 года капитан Куценко А. А. направлен на учёбу в Военную академию им. М. В. Фрунзе. В апреле 1941 года — помкомполка по хозчасти в 55-м мотострелковом полку. С началом ВОВ назначен командиром 710-го стрелкового полка Западного фронта. После ранения в 1941 году и лечения в госпитале назначен командиром 1170-й стрелкового полка Калининского фронта. В феврале 1942 года назначен командиром 174-й СД, которая в марте 1942 года переименована в 20-ю гвардейскую СД. Позднее, до 1944 года командовал 243-й СД, после чего находился на излечении в Кисловодском военном госпитале (с начала 1944 года). С июня 1944 года — первый начальник Тамбовского Суворовского военного училища. С конца 1945 по 1949 годы был начальником Ставропольского Суворовского военного училища. С 1949 года — начальник военной кафедры Ставропольского сельхозинститута. В 1950—1954 годах — начальник военной кафедры Киевского государственного института физической культуры. Генерал-майор (с 1944 г.) Умер Александр Андреевич Куценко в 1966 году, в Киеве.
Награды: Три Ордена Красного Знамени Орден Отечественной войны I степени Орден Ленина Другие медали, в том числе в 1938 году медалью "ХХ лет РККА"