Поздняков Алексей Павлович родился 26 февраля 1916 года в селе Тулиновка Тамбовского района Тамбовской области в семье рабочего.
Окончил 7 классов и 1 курс техникума механизации сельского хозяйства. Работал электромонтёром.
В Красной Армии с 1936 года.
В 1938 году окончил Качинскую военную авиационную школу пилотов.
Участник советско-финской войны 1939-1940 годов.
На фронтах Великой Отечественной войны с июня 1941 года.
Командир звена 147-го истребительного авиационного полка лейтенант А. П. Поздняков к сентябрю 1941 года совершил 138 боевых вылетов на штурмовку и бомбардировку живой силы и техники противника. В воздушных боях сбил лично 2 вражеских самолёта.
8 апреля 1942 года Поздняков вылетел во главе шестёрки истребителей Р-40 "Томахаук-IIB" на отражение налёта вражеской авиации на Мурманск. В районе посёлка Рестикент советские лётчики перехватили 15 немецких бомбардировщиков в сопровождении 5 истребителей Ме-110. Разгорелся неравный воздушный бой. С первой же атаки Поздняков сбил "мессершмитт". Другой сбил таранным ударом гвардии лейтенант А.С.Хлобыстов Но враг продолжал рваться к Мурманскому порту. Главной задачей теперь стало не допустить к объекту бомбардировщики и наши лётчики обрушили на них свои атаки. Бросив как попало бомбы, немцы стали уходить со снижением на свою территорию. Преследуя их, Поздняков в группе с Хлобыстовым и гвардии лейтенантом И. Д. Фатеевым подожгли один "юнкерс". Неожиданно из облаков выскочила ещё восьмёрка "мессершмиттов". Поздняков повёл на них свою группу в лобовую атаку. Когда головные машины были уже рядом, враг не выдержал и попытался отвернуть в сторону, но не успел. От лобового тарана "мессершмитт" разлетелся на куски. При таране капитан Поздняков погиб.
Похоронен в посёлке городского типа Мурмаши Кольского района Мурманской области. На могиле установлен обелиск.